最大平均值和的分组

我们将给定的数组 A 分成 K 个相邻的非空子数组 ，我们的分数由每个子数组内的平均值的总和构成。计算我们所能得到的最大分数是多少。

注意我们必须使用 A 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

示例:
输入: 
A = [9,1,2,3,9]
K = 3
输出: 20
解释: 
A 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 A 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.
说明:

1 <= A.length <= 100.
1 <= A[i] <= 10000.
1 <= K <= A.length.
答案误差在 10^-6 内被视为是正确的。
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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-sum-of-averages
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class Solution{
    //最后一个数为止分成K个连续非空子数组的子数组的平均值的和的最大值（用xxx代指）
    //不能改变数组内元素的顺序
    public static double largestSumOfAverages(int[] A, int K) {
        int len = A.length;
        double[] sums = new double[len + 1];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            sums[i + 1] = sums[i] + A[i];//计算从0开始的区间和
        }

        double dp[] = new double[len];
        // 第一次dp， dp[i]表示A数组中下标i~(N - 1)分为一个非空连续子数组的平均值
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i] = (sums[len] - sums[i]) / (len - i);//计算区间（i到len）之间的平均值
        }
        // 第2次到第K次dp,   k = 1，代表第二次，k = 2，代表第三次，以此类推，k = K - 1代表第K次dp
        // 第k + 1次dp的结果dp[i]就是A数组中从下标i开始到N-1结束分为k+1个非空连续子数组的xxx值
        for (int k = 0; k < K - 1; k++) {
            // 先把i固定，j变化作为分隔点
            // 分隔一次i~(N - 1)变为2个连续数组
            // 分隔两次i~N-1变为3个连续数组
            // 分隔K- 1次i~(N -1)变为K个连续数组
            // 这里有一点很好证明:一个数组分割后，他的xxx值一定比不分割要大，这是这里dp能求到正确值的前提条件
            for (int i = 0; i < len; i++) {
                for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], (sums[j] - sums[i]) / (j - i) + dp[j]);//假设i是最终结果，j是中间的某个结果，要想从j得到i，需要遍历j到i中间的所有结果，寻找最大的dp[j]+j到i之间区间的平均值
                }
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

参考文献

codeBrick
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