剪绳子

2020-12-16

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58
注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
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自顶向下的动态规划

对于一根长度为n的绳子，当n为1和2时，结果只能是1，当n大于2时，有两种处理方式：

先把它在i处切一刀，然后将继续切割剩下的绳子，当前的值是$i*cut（n-i）$;
把它在i处切一刀，不再继续切割剩下的绳子，当前的值是$i（n-i）$;
为了最大化乘积，需要选择二者中较大的那种切割方法因此$Math.max(i*cut(n-i),i(n-i))$;

class Solution {
   int[] mem = null;//备忘录
    public int cuttingRope(int n) {
        mem = new int[n + 1];
        return dp(n);
    }

    public int dp(int len) {
        if (mem[len] != 0) {//如果已经计算过，无需再次计算
            return mem[len];
        }
        int max = 0;
        if (len ==1||len==2) {
            return 1;
        } else {
            for (int i = 1; i < len; i++) {
                max = Math.max(Math.max(i * dp(len - i), i * (len - i)), max);
            }

        }
        mem[len] = max;
        return max;
    }
}

非递归实现

切的时候，当前的问题是切下来的长度i乘以剩余部分的子问题dp[i-j]的结果
不切的时候，当前的问题是j*(i-j)

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, 1);

        //dp[i]=max(max(j*dp[i-j],j*(i-j)),dp[i]);//当j<i时dp[j]*(n-j)代表在j处切，dp[i]代表不切
        // i枚举绳子的长度
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // j枚举的是切的位置
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(Math.max(j * dp[i - j], j * (i - j)), dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

自顶向下的动态规划

非递归实现

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