买卖股票的最佳时机含手续费

2020-12-17

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
注意:

0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 50000.
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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee
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动态规划

dp[i][0] 的转移方程，如果这一天交易完后手里没有股票，那么可能的转移状态为前一天已经没有股票，即dp[i−1][0]，或者前一天结束的时候手里持有一支股票，即dp[i−1][1]，这时候我们要将其卖出，并获得prices[i] 的收益，但需要支付fee的手续费。因此为了收益最大化，列出如下的转移方程：

1	dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);

dp[i][1]按状态转移，那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票，即dp[i−1][1]，或者前一天结束时还没有股票，即dp[i−1][0]，这时候我们要将其买入，并减少prices[i] 的收益。可以列出如下的转移方程：

1	dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];//买入股票因此收益是负的
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
}

方法一中，我们将手续费放在卖出时进行计算。如果我们换一个角度考虑，将手续费放在买入时进行计算，那么就可以得到一种基于贪心的方法。

我们用buy 表示在最大化收益的前提下，如果我们手上拥有一支股票，那么它的最低买入价格是多少。在初始时，buy 的值为 prices[0] 加上手续费 fee。那么当我们遍历到第 i(i>0) 天时：

如果当前的股票价格prices[i] 加上手续费fee小于buy，那么与其使用buy 的价格购买股票，我们不如以 prices[i]+fee 的价格购买股票，因此我们将buy 更新为prices[i]+fee；

如果当前的股票价格prices[i] 大于buy，那么我们直接卖出股票并且获得prices[i]−buy 的收益。但实际上，我们此时卖出股票可能并不是全局最优的（例如下一天股票价格继续上升），因此我们可以提供一个反悔操作，看成当前手上拥有一支买入价格为prices[i] 的股票，将 buy 更新为 prices[i]。这样一来，如果下一天股票价格继续上升，我们会获得 prices[i+1]−prices[i] 的收益，加上这一天prices[i]−buy 的收益，恰好就等于在这一天不进行任何操作，而在下一天卖出股票的收益；

对于其余的情况，prices[i] 落在区间[buy−fee,buy] 内，它的价格没有低到我们放弃手上的股票去选择它，也没有高到我们可以通过卖出获得收益，因此我们不进行任何操作。

上面的贪心思想可以浓缩成一句话，即当我们卖出一支股票时，我们就立即获得了以相同价格并且免除手续费买入一支股票的权利。在遍历完整个数组prices 之后之后，我们就得到了最大的总收益。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int buy = prices[0] + fee;
        int profit = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (prices[i] + fee < buy) {//如果当前的买入价格（包含手续费）小于原先的买入价格（包含手续费）就更新原来的买入价格为更小的价格
                buy = prices[i] + fee;
            } else if (prices[i] > buy) {//如果当前的价格大于买入价格，可以假交易一次，不减手续费，防止后面有更大的价格
                profit += prices[i] - buy;
                buy = prices[i];
            }
        }
        return profit;
    }
}

参考文献

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-han-sh-rzlz/
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