不同的子序列

2021-03-17

115. 不同的子序列

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给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

示例 1：

输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)
rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^

示例 2：

输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。 
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)
babgbag
^^ ^
babgbag
^^    ^
babgbag
^    ^^
babgbag
  ^  ^^
babgbag
    ^^^

提示：

0 <= s.length, t.length <= 1000
s 和 t 由英文字母组成

动态规划

s的长度为m，t的长度为n

dp[i][j]代表从j到n的字串在从i到m的字符串中有几个

$dp[i][j]=\left{\begin{array}{ll}
dp[i+1][j+1]+d p[i+1][j], & s[i]=t[j] \
dp[i+1][j], & s[i] \neq t[j]
\end{array}\right.$

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m=s.length();
        int n=t.length();

        if(n>m)return 0;
        int [][]dp=new int[m+1][n+1];

        for(int i=0;i<=m;i++){
            dp[i][n]=1;
        }

        for(int i=m-1;i>=0;i--){
            for(int j=n-1;j>=0;j--){
                if(s.charAt(i)==t.charAt(j)){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]; 
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i+1][j];
                }
            }
        }

        return dp[0][0];
    }
}

动态规划

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m = s.length(), n = t.length();
        if (m < n) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][n] = 1;
        }
        for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
            char sChar = s.charAt(i);
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
                char tChar = t.charAt(j);
                if (sChar == tChar) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + dp[i + 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/distinct-subsequences/solution/bu-tong-de-zi-xu-lie-by-leetcode-solutio-urw3/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

动态规划

1：为啥状态方程这样对？ 2：怎么想到这样的状态方程？

我个人习惯dp[i][j] 表示为s[0-i]和t[0-j]均闭区间的子序列个数，但这样不能表示s和t空串的情况

所以声明int[][] dp = new int[m + 1][n + 1]; 这样dp[0][x]可以表示s为空串，dp[x][0]同理。

先不扣初始化的细节，假设dp[i][j] 就是s[i] 和t[j] 索引的元素子序列数量

1：为啥状态方程是：

s[i] == t[j] 时 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

s[i] != t[j] 时 dp[i][j] = dp[i-1][j]

先看s[i] == t[j] 时，以s = "rara" t = "ra" 为例，当i = 3, j = 1时，s[i] == t[j]。

此时分为2种情况，s串用最后一位的a + 不用最后一位的a。

如果用s串最后一位的a,那么t串最后一位的a也被消耗掉，此时的子序列其实=dp[i-1][j-1]

如果不用s串最后一位的a，那就得看"rar"里面是否有"ra"子序列的了，就是dp[i-1][j]

所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

再看s[i] != t[j] 比如s = "rarb" t = "ra" 还是当i = 3, j = 1时，s[i] != t[j]

此时显然最后的b想用也用不上啊。所以只能指望前面的"rar"里面是否有能匹配"ra"的

所以此时dp[i][j] = dp[i-1][j]

2: 怎么想到这样状态方程的？

一点个人经验，见过的很多2个串的题，大部分都是dp[i][j]分别表示s串[0...i] 和t串[0...j]怎么怎么样然后都是观察s[i]和t[j]分等或者不等的情况而且方程通常就是 dp[i-1][j-1]要么+ 要么 || dp[i-1][j]类似的

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int m = s.length(), n = t.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++)
            dp[i][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (j > i)
                    continue;
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

参考引用文献

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