背包九讲之多重背包问题

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说明:

本文所讲内容摘录自崔添翼:背包九讲,并对其中的数学内容和一些较为复杂的内容进行了删减,增加了基础的例题,只是面向初学者或者不需要深入理解背包及其衍生问题的读者,如果有能力并且有意愿加深理解,本文可能会对您形成误导,请移步崔添翼:背包九讲.

多重背包问题

题目

有 $N$ 种物品和一个容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 种物品最多有 $M_i$ 件可用，每件耗费的空间是 $C_i$，价值是 $W_i$。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超 过背包容量，且价值总和最大.

基本思路

因为对于第 $i$ 种物品 有 $M_i + 1$ 种策略 ： 取 $0$ 件，取 $1$ 件……取 $M_i$ 件。 令 $F[i, v]$表示前 $i$ 种物品恰放入一个容量为 $v$ 的背包的最大价值，则有状态转移方程：
$$
F[i，v] = max\left{F[i − 1, v − k ∗ C_i] + k ∗W_i \space\space|\space\space 0 ≤ k ≤ M_i\right}
$$
时间复杂度是 $O\left(N V \sum M_i\right)$。

上述问题的伪代码

int N, V;
// cv[i][0]是放第i件物品消耗的费用,cv[i][1]是放第i件物品的收益价值,cv[i][2]是第i件物品的最大数量,其中i从1开始
int[][] cv = new int[N + 1][3];
int dp[][] = new int[N + 1][V + 1];
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k * cv[i][0] <= j && k <= cv[i][2]; k++) {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * cv[i][0]] + k * cv[i][1]);
        }
    }
}
return dp[N][V];

注意❗: 外层i枚举物品的数量,内层j枚举背包的容量，最内层k枚举选择i的件数

注意❗❗❗: 转移方程为dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * cv[i][0]] + k * cv[i][1]) max函数里面是dp[i][j]和dp[i - 1][j - k * cv[i][0]] + k * cv[i][1]这两项, 切记!切记!

一个简单有效的优化

略🚮🤐(太菜了,慢慢来)

相关题目练习

题目URL

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000<N,V≤100$

$0<v_i,w_i,s_i≤1000<v_i,w_i,s_i≤100$

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

题目解法

import java.util.*;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 物品的数量
        int N = sc.nextInt();
        // 背包的容量
        int V = sc.nextInt();
        // 每个物品的体积和价值
        int[][] vw = new int[N + 1][3];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            // 体积
            vw[i][0] = sc.nextInt();
            // 价值
            vw[i][1] = sc.nextInt();
            // 数量
            vw[i][2] = sc.nextInt();
        }

        int dp[][] = new int[N + 1][V + 1];
        // 不要求完全装满背包,初始化全设置为0,因为java默认int数组为0所以象征性的初始化第一个
        dp[0][0] = 0;
        // 枚举第i件物品
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            // 枚举背包的容量j
            for (int j = 0; j <= V; j++) {
                // 枚举选择第i种物品的数量k
                for (int k = 0; k * vw[i][0] <= j && k <= vw[i][2]; k++) {
                    // dp[i][j]的值是:{选择k件第i种物品时}与{选择其他数量的第i种物品}的两者的最大值
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * vw[i][0]] + k * vw[i][1]);
                }
            }
        }
        // 返回N件物品,背包容量为V的装入的最大价值
        System.out.println(dp[N][V]);
    }
}

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