停在原地的方案数

2021-05-13

1269. 停在原地的方案数

难度困难80

有一个长度为 arrLen 的数组，开始有一个指针在索引 0 处。

每一步操作中，你可以将指针向左或向右移动 1 步，或者停在原地（指针不能被移动到数组范围外）。

给你两个整数 steps 和 arrLen ，请你计算并返回：在恰好执行 steps 次操作以后，指针仍然指向索引 0 处的方案数。

由于答案可能会很大，请返回方案数模 10^9 + 7 后的结果。

示例 1：

输入：steps = 3, arrLen = 2
输出：4
解释：3 步后，总共有 4 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左，不动
不动，向右，向左
向右，不动，向左
不动，不动，不动

示例 2：

输入：steps = 2, arrLen = 4
输出：2
解释：2 步后，总共有 2 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左
不动，不动

示例 3：

1 2	输入：steps = 4, arrLen = 2 输出：8

提示：

1 <= steps <= 500
1 <= arrLen <= 10^6

记忆化搜索

class Solution {
    private int MOD = 1_000_000_007;
    // 用哈希表记录访问过的状态
    private Map<String, Integer> mem = new HashMap<>(); 
    public int numWays(int steps, int arrLen) {
        return dp(steps, arrLen, 0);
    }
    private int dp(int steps, int arrLen, int pos) {
        // 递归终止条件，可走0步，若此时在原点则返回1
        if (steps == 0) { return pos == 0 ? 1 : 0;}
        
        String code = "" + steps + "," + pos;
        
        // 之前是否到达过这个状态，是的话直接返回
        if (mem.containsKey(code)) return mem.get(code); 
        
        int ans = dp(steps-1, arrLen, pos);  // 原地不动
        //右移一步
        if (pos+1 < arrLen) { 
            ans += dp(steps-1, arrLen, pos+1); 
            ans %= MOD; 
        }
        //左移一步
        if (pos-1 >= 0) { 
            ans += dp(steps-1, arrLen, pos-1);
            ans %= MOD; 
        }
        // 记下当前状态，防止重复搜索
        mem.put(code, ans);
        
        return ans;
    }
}

作者：copyreadmachine
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps/solution/java-ji-yi-hua-sou-suo-jian-dan-yi-dong-by-copyrea/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

动态规划

dp[i][j]代表走i步最后位置停留在j处的次数

那么转移方程就是

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j+1]

分别是原地不动的步数+向左移动一步的步数+向右移动一步的步数的和

class Solution {
    public int numWays(int steps, int arrLen) {
        int mod = (int)1e9+7;

        int maxStep = Math.min(steps/2+1,arrLen-1);
        int [][]dp = new int [steps+1][maxStep+1];

        dp[0][0] = 1;

        for(int i = 1; i <= steps; i++){
            for(int j = 0; j <= maxStep; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j-1 >= 0){
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j-1])%mod;
                }
                if(j+1 <= maxStep){
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j+1])%mod;
                }
            }
        }
        return dp[steps][0];
    }
}

动态规划（优化空间复杂度）

class Solution {
    public int numWays(int steps, int arrLen) {
        final int MODULO = 1000000007;
        int maxColumn = Math.min(arrLen - 1, steps);
        int[] dp = new int[maxColumn + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= steps; i++) {
            int[] dpNext = new int[maxColumn + 1];
            for (int j = 0; j <= maxColumn; j++) {
                dpNext[j] = dp[j];
                if (j - 1 >= 0) {
                    dpNext[j] = (dpNext[j] + dp[j - 1]) % MODULO;
                }
                if (j + 1 <= maxColumn) {
                    dpNext[j] = (dpNext[j] + dp[j + 1]) % MODULO;
                }
            }
            dp = dpNext;
        }
        return dp[0];
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps/solution/ting-zai-yuan-di-de-fang-an-shu-by-leetcode-soluti/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-stay-in-the-same-place-after-some-steps/solution/ting-zai-yuan-di-de-fang-an-shu-by-leetcode-soluti/
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