前n个数组二进制中1的个数

剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数

难度简单13

给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。

示例 1:

输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释: 
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2:

输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

说明 :

• 0 <= n <= 105

进阶:

• 给出时间复杂度为 O(n*sizeof(integer)) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗？

• 要求算法的空间复杂度为 O(n) 。

• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount ）来执行此操作。

  java bitcount解法

class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        
        int []ans = new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++){
            ans[i] = bitCount(i);
        }
        return ans;
    }


    public static int bitCount(int i) {
        // HD, Figure 5-2
        i = i - ((i >>> 1) & 0x55555555);
        i = (i & 0x33333333) + ((i >>> 2) & 0x33333333);
        i = (i + (i >>> 4)) & 0x0f0f0f0f;
        i = i + (i >>> 8);
        i = i + (i >>> 16);
        return i & 0x3f;
    }

}

动态规划 +位运算

对于所有的数字，只有奇数和偶数两种：

奇数：二进制表示中，奇数一定比前面那个偶数多一个 1，因为多的就是最低位的 1。
偶数：二进制表示中，偶数中 1 的个数一定和除以 2 之后的那个数一样多。因为最低位是 0，除以 2 就是右移一位，也就是把那个 0 抹掉而已，所以 1 的个数是不变的。
所以我们可以得到如下的状态转移方程：

$dp[i] = dp[i-1]$，当i为奇数
$dp[i] = dp[i/2]$，当i为偶数
上面的方程还可进一步合并为：
$dp[i] = dp[i/2] + i % 2$

通过位运算进一步优化：

$i / 2 $可以通过$ i >> 1 $得到；
$i % 2 $可以通过$ i & 1 $得到；

作者：Terry2020
链接：https://leetcode-cn.com/problems/w3tCBm/solution/rang-ni-miao-dong-de-shuang-bai-ti-jie-b-84hh/
来源：力扣（LeetCode）
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